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        芝諾悖論

        來(lái)源:本站原創(chuàng) 文章作者:奧數(shù)論壇 2008-05-07 18:08:22

        智能內(nèi)容

            阿基里斯是希臘傳說(shuō)中跑得最快的人。一天他正在散步,忽然發(fā)現(xiàn)在他前面100米遠(yuǎn)的地方有一只大烏龜正在慢慢地向前爬。 烏龜說(shuō):“阿基里斯! 誰(shuí)說(shuō)你跑得最快?你連我都追不上!”阿基里斯回答說(shuō):“胡說(shuō)!我的速度比你快何止百倍!就算剛好是你的10倍,我也馬上就可以超過(guò)你!”烏龜說(shuō):“就照你說(shuō)的,我們來(lái)試一試吧!當(dāng)你跑到我現(xiàn)在這個(gè)地方,我已經(jīng)向前爬了10米。當(dāng)你再向前跑過(guò)10米時(shí),我又爬到前面去了。

            每次你追到我剛剛耽過(guò)的地方,我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來(lái)越近,卻永遠(yuǎn)也追不上我!”阿基里斯說(shuō):“哎呀!我明明知道能追上你,可你說(shuō)的好像也有道理,這是怎么回事呢? ”這個(gè)有趣的悖論,是公元前5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家芝諾提出來(lái)的。在2 000多年的時(shí)間里,它使數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家傷透了腦筋。先看下面的圖

        ┴───────┴────┴───┴──┴──┴──

        A B C D E F……

            阿基里斯在A點(diǎn)時(shí),烏龜在B點(diǎn);他追到B,它爬到C;他追到C,它爬到D,……我們看到,阿基里斯離烏龜越來(lái)越近,也就是,AB,BC,CD,……這些線段越來(lái)越短,每個(gè)都只有前一個(gè)的1/10,但是每一個(gè)線段的長(zhǎng)度都不會(huì)是0,這就是說(shuō),當(dāng)阿基里斯按上面的過(guò)程去追烏龜時(shí),在任何有限次之內(nèi)他都追不上烏龜。 那么,阿基里斯真的追不上烏龜了嗎? 當(dāng)然不是。所以會(huì)產(chǎn)生上述困難,是因?yàn)楹鲆暳艘粋(gè)十分重要的因素:由于那些線段越來(lái)越短,阿基里斯跑完那些線段所用的時(shí)間也越來(lái)越短,下一次只相當(dāng)于上一次的1/10。 芝諾悖論的關(guān)鍵是使用了兩種不同的時(shí)間測(cè)度。原來(lái),我們用來(lái)測(cè)量時(shí)間的任何一種“鐘”都是依靠一種周期性的過(guò)程作標(biāo)準(zhǔn)的。如太陽(yáng)每天的東升西落,月亮的圓缺變化,一年四季的推移,鐘擺的運(yùn)動(dòng)等等。人們正是利用它們循環(huán)或重復(fù)的次數(shù)作為時(shí)間的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的。 芝諾悖論中除了普通的鐘以外,還有另一種很特別的“鐘”,就是用阿基里斯每次到達(dá)上次烏龜?shù)竭_(dá)的位置作為一個(gè)循環(huán)。

            用這種重復(fù)性過(guò)程測(cè)得的時(shí)間稱為“芝諾時(shí)”。例如,當(dāng)阿基里斯在第n次到達(dá)烏龜在第n次的起始點(diǎn)時(shí),芝諾時(shí)記為n,這樣,在芝諾時(shí)為有限的時(shí)刻,阿基里斯總是落在烏龜后面。但是在我們的鐘表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分鐘,那么他跑完BC只要6秒鐘,跑完CD只需 0.6秒,實(shí)際上,他只需要1 1/9分鐘就可以追上烏龜了。

            因此,芝諾悖論的產(chǎn)生原因,是在于“芝諾時(shí)”不可能度量阿基里斯追上烏龜后的現(xiàn)象。在芝諾時(shí)達(dá)到無(wú)限后,正常計(jì)時(shí)仍可以進(jìn)行,只不過(guò)芝諾的“鐘”已經(jīng)無(wú)法度量它們了。 這個(gè)悖論實(shí)際上是反映時(shí)空并不是無(wú)限可分的,運(yùn)動(dòng)也不是連續(xù)的。

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