那些手扛肩挑的年代

　　手算筆錄的時(shí)代，每前進(jìn)一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪提出近200年之后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了M31確實(shí)是一個(gè)素?cái)?shù)，這是人們找到的第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，它共有10位數(shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)，歐拉也因此成為第二個(gè)在發(fā)現(xiàn)者名單上留名的人。讓人驚嘆的是，這是在他雙目失明的情況下，靠心算完成的。這種超人般的毅力與技巧讓歐拉獲得了“數(shù)學(xué)英雄”的美譽(yù)。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P.Laplace）說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”

　　100年后，法國數(shù)學(xué)家魯卡斯提出了一個(gè)用來判別Mp是否是素?cái)?shù)的重要定理——魯卡斯定理，這為梅森素?cái)?shù)的研究提供了有力的工具。1883年，數(shù)學(xué)家波佛辛（Pervushin）利用魯卡斯定理證明了M61也是素?cái)?shù)–這是梅森漏掉了的。梅森還漏掉另外兩個(gè)素?cái)?shù)：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數(shù)學(xué)家鮑爾斯（Powers）發(fā)現(xiàn)。

　　還記得梅森預(yù)測的四個(gè)素?cái)?shù)嗎？其中M31已經(jīng)為歐拉證明，M127則在魯卡斯提出定理時(shí)順帶證明，雖然中間漏掉了3個(gè)，但至少還有另外兩個(gè)：M67和M257是不是素?cái)?shù)呢……

　　M67的證明又是一個(gè)精彩的故事。

　　1903年，數(shù)學(xué)家柯爾在美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的大會(huì)上作了一個(gè)報(bào)告。他先是專注地在黑板上算出267－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個(gè)算式結(jié)果完全相同！換句話說，他成功地把267－1分解為兩個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，從而證明了M67是個(gè)合數(shù)。

　　報(bào)告中，他一言未發(fā)，卻贏得了現(xiàn)場聽眾的起立鼓掌，更成了數(shù)學(xué)史上的佳話。閱讀這段歷史，我們懂得了什么叫做“事實(shí)勝于雄辯”。記者好奇地問他是怎樣得到這么精彩的發(fā)現(xiàn)的，柯爾回答“三年里的全部星期天”。他后來當(dāng)選為美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)長，去世后，該協(xié)會(huì)專門設(shè)立了“柯爾獎(jiǎng)”，用于獎(jiǎng)勵(lì)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。

　　1922年，數(shù)學(xué)家克萊契克驗(yàn)證了M257并不是素?cái)?shù)，而是合數(shù)（但他沒有給出這一合數(shù)的因子，直到20世紀(jì)80年代人們才知道它有3個(gè)素因子）。

　　于是乎，梅森的四個(gè)猜測獲得了兩正確、三遺漏和兩錯(cuò)誤的成績，但這無損于他的光榮。在千年的探尋之旅中，偉大如歐拉也會(huì)犯錯(cuò)誤，他在1750年宣布說找到了梅森的“遺漏”：M41和M47也是素?cái)?shù)，但最終上M41和M47都不是素?cái)?shù)。

　　直到1947年，對(duì)于p≤257的梅森素?cái)?shù)Mp的正確結(jié)果才被確定，也就是當(dāng)p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127時(shí)，Mp是素?cái)?shù)。現(xiàn)在這個(gè)表已經(jīng)被反復(fù)驗(yàn)證，一定不會(huì)有錯(cuò)誤了。

　　我們看到，在手工計(jì)算的時(shí)代，人們一共找到了12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

　　計(jì)算機(jī)！計(jì)算機(jī)！

　　1930年，美國數(shù)學(xué)家雷默改進(jìn)了魯卡斯的工作，給出了一個(gè)新的測試方法，即魯卡斯－雷默方法。很快地，計(jì)算機(jī)時(shí)代到來了，這一方法發(fā)揮了重要的作用。1952年，數(shù)學(xué)家魯濱遜（Robinson）等人將魯卡斯－雷默方法編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)在短短幾小時(shí)之內(nèi)，就發(fā)現(xiàn)了第13個(gè)、第14個(gè)，并在當(dāng)年總共找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：M521、M607、M1279、M2203和M2281。

　　其后，M3217在1957年被黎塞爾（Riesel）證明是素?cái)?shù)；M4253和M4423在1961年被赫維茲（Hurwitz）證明是素?cái)?shù)。

　　1963年，美國數(shù)學(xué)家吉里斯（Gillies）證明M9689和M9941是素?cái)?shù)，這已經(jīng)是第21和22個(gè)梅森素?cái)?shù)。1963年9月6日晚上8點(diǎn)，當(dāng)吉里斯通過大型計(jì)算機(jī)找到第23個(gè)梅森素?cái)?shù)M11213時(shí)，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息，發(fā)現(xiàn)這一素?cái)?shù)的美國伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生更是激動(dòng)地把所有從系里發(fā)出的信件都敲上了“211213－1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳。

　　1971年3月4日晚，美國哥倫比亞廣播公司（CBS）中斷了正常節(jié)目播放，發(fā)布了布萊恩特?塔克曼（Bryant Tuckerman）使用IBM360-91型計(jì)算機(jī)找到新的梅森素?cái)?shù)M19937的消息。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機(jī)構(gòu)（包括我國的新華社）都報(bào)道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾（Noll）和尼科爾（ Nickel）使用CYBER174型計(jì)算機(jī)找到了第25個(gè)梅森素?cái)?shù)：M21701。

　　超級(jí)計(jì)算機(jī)的引入加快了梅森素?cái)?shù)的尋找腳步，但隨著素?cái)?shù)P值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)的產(chǎn)生都更加艱難，各國科學(xué)家及業(yè)余研究者們之間的競爭變得越來越激烈。在1979年2月23日，當(dāng)美國克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基和納爾遜正興致沖沖地宣布他們找到第26個(gè)梅森數(shù)M23209時(shí)，有人澆來一盆冷水：兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。心有不甘的他們又花了一個(gè)半月的時(shí)間“臥薪嘗膽”，使用Cray－1型計(jì)算機(jī)找到了第27個(gè)梅森素?cái)?shù)M44497，這件事成了當(dāng)時(shí)不少報(bào)紙的頭版新聞。

　　為了與美國人較量，英國的哈威爾實(shí)驗(yàn)室也專門成立了一個(gè)研究小組來尋找更大的梅森素?cái)?shù)。他們用了兩年時(shí)間，花了12萬英鎊的經(jīng)費(fèi)，于1992年3月25日找到了新的梅森素?cái)?shù)M756839。但到了1994年1月14日，史洛溫斯基等人為美國再次奪回發(fā)現(xiàn)“已知最大素?cái)?shù)”的桂冠——這一梅森素?cái)?shù)是M859433。史洛溫斯基本人一共發(fā)現(xiàn)了7個(gè)梅森素?cái)?shù)，他因此被人們稱為“素?cái)?shù)大王”。

　　數(shù)學(xué)研究的深入更重于計(jì)算能力的提升，在搜尋梅森素?cái)?shù)的同時(shí)，對(duì)梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律的研究也在進(jìn)行著，英、法、印、美、德等國的數(shù)學(xué)家都曾分別給出過關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布規(guī)律的猜測，但這些猜測都以近似表達(dá)式給出，而與實(shí)際情況的接近程度均難如人意。中國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中則是這方面研究的領(lǐng)先者，他運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年首先給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式。著名的《科學(xué)美國人》雜志有一篇文章指出：這一成果為人們探究梅森素?cái)?shù)提供了方便，是素?cái)?shù)研究的一項(xiàng)重大突破。后來這項(xiàng)重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。

　　伴隨數(shù)學(xué)理論的改善，為了尋找梅森素?cái)?shù)而使用的計(jì)算機(jī)也越來越強(qiáng)大，包括了著名的IBM360型計(jì)算機(jī)，和超級(jí)計(jì)算機(jī)Cray系列。1996年發(fā)現(xiàn)的M1257787是迄今為止最后一個(gè)由超級(jí)計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)，數(shù)學(xué)家使用了Cray T94，這也是人類發(fā)現(xiàn)的第34個(gè)梅森素?cái)?shù)。

　　梅森素?cái)?shù)的探尋之旅似乎正變得離普通人越來越遠(yuǎn)，直到GIMPS時(shí)代的到來……