四色命題
來(lái)源:網(wǎng)絡(luò) 2009-08-26 10:00:00

四色命題:任何一張平面地圖,僅需四種不同顏色即可將所有區(qū)域(國(guó)家)完全區(qū)分開(kāi)來(lái)。
如果將一個(gè)區(qū)域看成是一個(gè)點(diǎn),則兩個(gè)相鄰區(qū)域可以看成是兩點(diǎn)相連接。由此四色命題可以等價(jià)為:
等價(jià)命題1:
平面上有任意多點(diǎn),這些點(diǎn)必須滿足條以下兩個(gè)條件:
條件1:點(diǎn)與點(diǎn)之間連接線互相不能交*
條件2:如果兩點(diǎn)相連接,則這兩點(diǎn)必須用不同的顏色以示區(qū)分。
證明僅需四種不同顏色即可完全區(qū)分所有點(diǎn)。
僅當(dāng)平面上有5個(gè)點(diǎn)它們兩兩互相連接,需要我們用5種不同顏色來(lái)區(qū)分它們,由此可將命題1等價(jià)為
等價(jià)命題2:
平面上有任意多點(diǎn),這些點(diǎn)必須滿足條以下兩個(gè)條件:
條件1:點(diǎn)與點(diǎn)之間連接線互相不能交*
條件2:如果兩點(diǎn)相連接,則這兩點(diǎn)必須用不同的顏色以示區(qū)分。
證明平面上不存在這樣的五個(gè)點(diǎn):它們兩兩互相連接,因而需要五種顏色來(lái)區(qū)分它們。
對(duì)于等價(jià)命題2的證明如下:
平面上任何兩兩互相連接且連接線不相交的四點(diǎn)所構(gòu)成的幾何圖形同構(gòu)于如下圖1所示:
圖1
該幾何圖形存在著一個(gè)封閉點(diǎn)D,并構(gòu)成區(qū)域ABD,BCD和ADC。
現(xiàn)在考慮增加第五點(diǎn)E,存在兩種情況:
E點(diǎn)在區(qū)域ABD,BCD和ADC這外
由于D點(diǎn)是封閉點(diǎn),E點(diǎn)不可能與D點(diǎn)相連接且不與AB,BC,AC之任一條相交。
E點(diǎn)在區(qū)域ABD,BCD和ADC的任一個(gè)之中。
由于E點(diǎn)區(qū)域之中,則不可能與區(qū)域之外的另一點(diǎn)相連接而不與組成區(qū)域的邊相交。
綜合以上所述,不存在同滿足條件的任意五點(diǎn)。因此不需要第五種顏色來(lái)區(qū)分。
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