實則不然，只要把上面那個表中C的名字劃去重新統(tǒng)計就會發(fā)現(xiàn)，仍然是一票制的情況下，結(jié)果會變成D高于B高于A，原先得票墊底的D才應該拿到這個offer！

　�。ㄊ聦嵣希�如果你有興趣，可以把退出的人從C換成D或者B或者A，你會發(fā)現(xiàn)在這個例子里無論誰退出競爭，剩下的人的得票順序都會整個顛倒過來。——當然這是精心構(gòu)造的例子，一般說來不至于這么離譜。）

　　這個例子反映了投票制度的“混沌性”，或者說，結(jié)果對擾動的敏感依賴性。大家都知道的一句描述混沌現(xiàn)象的名言是“某地的一只蝴蝶扇動翅膀也許會影響到某一場颶風”，那么在這里我們可以說，“某一個次要競爭者的變化，也許會影響到重量級競爭者的崛起或者覆滅。”一個類似但是復雜得多的例子是在2008年年初的民主黨黨內(nèi)初選中，希拉里和奧巴馬雙雄鼎立，希拉里略占優(yōu)勢。而愛德華茲一直屈居第三，終于在“超級星期二”來臨之前的1月底宣布退出競爭，他的退出很快打破了希拉里和奧巴馬的平衡，部分地促成了奧巴馬在超級星期二之后的十連勝，最終逼得希拉里退選。

　　混沌性是由選舉制度本身決定的，但是對不同的選舉制度來說，其“混沌”的程度有所區(qū)別。關(guān)于排序投票制，D.Saari給出過下面的結(jié)果：對于三個以上的候選人來說，大多數(shù)排序投票制都會容許一些特例使得選舉結(jié)果在某一候選人退出時發(fā)生所有可能的劇變，只有少數(shù)投票法，例如Borda計票法，能夠在一定程度上避免這種變化的幅度，例如至少避免原本排名第一的候選人忽然變成排名墊底。

　　這看起來像是說Borda計票法比別的排序投票制都要好，但是這要看是在什么意義上說。畢竟，Borda計票法要求每個選民都要對所有的候選人有一個完整的傾向排序，這在實踐中往往是不可能實現(xiàn)的事情。而且正如上面的結(jié)果所描述的那樣，即使采用了Borda計票法，也不能從根本上排除混沌的存在。

　　事實上，在投票這件事情上，我們面對的不僅是簡單的數(shù)字游戲，而是人類社會最本質(zhì)的問題之一：如何才有可能把社會中每個成員的意見，綜合成為一個社會的整體意見？有趣的是，對這個問題最好的回答之一是以數(shù)學形式得到的。經(jīng)濟學巨擎，1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎得主K.Arrow在他的成名作SocialChoiceandIndividualValues中給出了著名的Arrow定理，在這里考慮的是比投票更為普遍的情況，即如果一個集體中每個成員都對給定的一系列選項（或者候選人）有一組偏好順序，那么一個“社會選擇機制”能夠在多好的程度上得到一個綜合的排序？換句話說，需要找到一個函數(shù)，把所有人的排序映射為一個綜合的排序，關(guān)于這個函數(shù)我們有下面這些自然的標準：

　　非獨裁性：這個函數(shù)的輸出意見不能總是等于同一個人的輸入意見，也就是說，不存在一個人的意見總是凌駕于所有人的意見之上。

　　帕雷托最優(yōu)：如果在每個人的排序中A都優(yōu)于B，在輸出結(jié)果中A也應當優(yōu)于B。

　　無關(guān)因素獨立性：如果人們對C的看法改變了，不應當影響到結(jié)果中A和B的相對排序。

　　Arrow定理是說，只要有三個或更多的候選者，就不可能存在一個函數(shù)，或者說社會選擇機制，滿足這些標準。

　　這個定理有很多種通俗的（也是容易引起誤解的）解釋和陳述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的決策方式是獨裁”，等等。但是事實上通過前面的討論，我們很容易意識到這三個條件里最苛刻的是最后一條，即無關(guān)因素獨立性。前兩條看起來都是很自然的要求（事實上帕雷托最優(yōu)性也有其爭議性，不過這一點按下不表），只有第三條，我們已經(jīng)看到，受制于投票機制的混沌特征，是非常難于滿足的。

　　這一結(jié)論看似是令人失望的。它意味著我們這個社會不僅暫時還不完美，而且永遠都不會完美。正像我們在許許多多別的領(lǐng)域中看到的那樣，這種不完美似乎是造物主的限定，也就是說，它并非出于某種粗糙的錯誤，而是理性和邏輯的必然。無論是數(shù)學中，還是自然科學中，這樣的例子都數(shù)不勝數(shù)。

　　但是也正像許許多多別的領(lǐng)域中類似的例子那樣，正是這些不完美才構(gòu)成了這個世界的迷人之處。有了對現(xiàn)實中的不完美的解剖，和對更好的理想的無限追求，我們才有了演進的動力。正如深刻的理解了大洋彼岸這傳奇式的經(jīng)驗和教訓，我們才能更了解自己前進的方向一樣。

　　而在這一切之中最迷人之處，則是這樣復雜的現(xiàn)實可以被這樣優(yōu)美的數(shù)學所描述和論證。——誠然，人們對這個課題中的大量細節(jié)還所知甚少，還有大量的悖論等待澄清，大量的工具等待發(fā)明，但是第一步已經(jīng)走了出去，人們已經(jīng)意識到，人類的社會生活本身是有可能在某種程度上被數(shù)學語言所刻畫和約束的。自上世紀中葉以來，在這個領(lǐng)域中已經(jīng)產(chǎn)生了若干位諾貝爾經(jīng)濟學獎得主，也誕生了若干深刻漂亮的數(shù)學成果。社會科學和數(shù)學的交互作用已經(jīng)成為蔚為大觀的潮流。

　　而正像D.Saari在一篇名為《數(shù)學與投票》的文章中所說的那樣，還有更多的挑戰(zhàn)和機會就在前面等待著，一切還只是個開始而已。